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Modélisation mathématique en finance et sous-estimation systématique des risques

L’hypothèse statistique de normalité des distributions de prix et rendements est trop forte et les risques d’occurrence des évènements hors de l’intervalle de confiance sont dramatiquement sous-évalués

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Le malheur, et l’histoire des marchés financiers depuis près de 15 ans l’atteste largement, c’est que cet environnement de modélisation s’est unanimement imposé dans trois grands domaines d’activités sur les marchés financiers : la quantification des risques de books de trading et leur supposée couverture adéquate ; le pricing d’options ; la gestion d’actifs

Quantification des risques

La recherche de la simplicité et de la rapidité de calcul a toujours été privilégiée. Tout d’abord la simplicité puisque tous les instruments financiers sont supposés dépendre de facteurs de risque suivant une loi statistique normale (ou plus exactement log-normale) ; la rapidité de calcul car l’hypothèse de log-normalité des facteurs de risque permet de calculer directement la VAR

Je lisais récemment dans une revue que pour être un bon professionnel des marchés dans la recherche, le trading et la structuration, il fallait être tout à la fois: bon mathématicien, bon physicien et bon informaticien. Si on peut être tout cela à la fois, parfait mais ceci ne dispense pas d’approfondir ses connaissances dans le domaine de la finance comportementale.
Mory Doré

Pricing des produits dérives

En majorité ceux de première génération, à partir du modèle de Fisher Black et de Myron Scholes. A l’époque de la dérégulation, de la désintermédiation et de la déréglementation des marchés financiers (début des années 1970 Outre Atlantique, début des années 1980 Outre Manche et milieu des années 1980 en France), apparaît alors un phénomène nouveau appelé volatilité. Les taux de change deviennent volatils depuis la fin de Bretton Woods un certain 15 août 1971, date sans doute la plus importante de l’histoire monétaire contemporaine avec l’annonce par le président américain Richard Nixon de la suppression totale de la convertibilité du dollar en or. Les taux d’intérêt sont également devenus volatils avec la mise en place de politiques monétaires de contrôle de la masse monétaire ( sous l’impulsion de Paul Volcker patron de la FED de 1979 à 1987) et avec la remise en cause de l’économie administrée en Europe continentale dans les années 1980 (on pense naturellement en France à la fin de l’encadrement du crédit en 1985)

Tout ceci va nécessiter la mise en place de nouvelles techniques et de nouveaux produits financiers dits dérivés destinés à couvrir les variations de taux de change et de taux d’intérêt. La formule de Black and Scholes permettant d’évaluer le prix de certains de ces produits va alors donner une légitimité scientifique à ce nouvel environnement. Là encore la simplicité et la rapidité de calcul sont des arguments contre lesquels personne, ou presque, ne peut lutter : simplicité mathématique – pour un matheux s’entend- car après tout il suffisait et il suffit de savoir intégrer une équation différentielle (désolé pour les non matheux) ; capacités informatiques assez économes et donc ne pesant pas trop sur les coefficients d’exploitation bancaires

La gestion d’actifs

Troisième et dernier domaine d’activité basé sur la normalité de la distribution des rendements et des risques, la théorie moderne du portefeuille et les travaux de Markowitz et Sharpe. Là encore on trouvera donc une légitimité scientifique aux activités modernes d’asset management avec l’éternel objectif de la frontière efficiente, cet endroit ou le risque-rendement est soi-disant toujours optimisé et ou les allocations d’actifs sont dites optimales. Il fut donc impossible de lutter contre ce monopole « scientifique » puisqu’il s’agissait alors de montrer que cet environnement gaussien était paré de toutes les vertus dans le monde de la finance moderne.

Il ne sera jamais possible de modéliser la peur , le mimétisme et encore moins l’impact des contraintes réglementaires, prudentielles et comptables sur les comportements des investisseurs
Mory Doré

Tout devait aller pour le mieux dans le meilleur des mondes. Tout d’abord, les Banques de financement et d’investissement (BFI) étaient supposées maîtriser parfaitement leurs risques de marché grâce à un outil « magique » nommé Value at Risk. Ensuite les filiales d’asset management de ces établissements bancaires géraient de manière optimale les excédents d’épargne des investisseurs particuliers et institutionnels. Enfin les agents économiques pouvaient couvrir leurs risques financiers auprès des BFI en ayant recours à des instruments dérivés parfaitement pricés.

AVEUGLEMENT OU ABSENCE D’ALERTES ?

Benoît Mandelbrot

- En 1961, il mit au point un modèle d’évolution des cours boursiers basé sur la géométrie fractale. Cette discipline qui avait l’avantage de mieux détecter la survenance de variations extrêmes fut ignorée jusque vers le milieu des années 1990 (officiellement pour cause de complexité mais sans doute officieusement parce qu’elle ne s’inscrivait pas dans les dogmes officiels de la finance de marché). Sous la pression de l’histoire récente des marchés, elle est fort heureusement réétudiée en vue d’applications précises

- En 1997, Mandelbrot met en place de nouvelles modélisations qui intègrent les phénomènes de mémoire des variations des prix d’actifs. Il définit la notion de temps multifractal afin de mieux cerner la coexistence de périodes calmes et agitées sur les marchés financiers. En effet, l’amplitude des variations peut rester indépendante d’une séance à l’autre mais aussi être corrélée sur de très longues périodes de temps, ce que ne prends absolument pas en compte les hypothèses de Black and Scholes

- En 2004, il publie Une approche fractale des marchés dans laquelle il montre l’inadaptation de la plupart des outils mathématiques utilisés en finance

Alors me direz-vous n’a-t-on jamais entendu des scientifiques de haut vol alerter sur les dangers des méthodologies utilisées pour modéliser la gestion des risques financiers et l’évaluation d’actifs financiers ? Oh que si, et parmi eux le regretté mathématicien Benoit Mandelbrot disparu en octobre 2010. Chacun pourra parcourir ici ou là la biographie immensément riche de ce savant oublié par le grand public de la finance. Et pour cause, il dérangeait et remettait en cause le scientisme et l’unanimisme gaussien des marchés financiers.

Les nombreux événements de marché survenus depuis la crise de 2007 ont donné raison à Mandelbrot dans ses constats selon lesquels les risques extrêmes étaient largement sous-évalués

Qu’on en juge en se replaçant tout juste 4 ans en arrière
- Impensable d’imaginer que certains fonds monétaires dynamiques soient subitement contraints durant l’été 2007 de suspendre leurs valeurs liquidatives et de geler les actifs des investisseurs ?

- Impensable également d’imaginer que des émissions structurées complexes notées « AAA » en avril 2007 soient dégradées de six à sept crans en l’espace de quelques semaines voire connaissent un défaut six mois après leur lancement (le fameux retour à la moyenne de certain spreads de crédit ne vit jamais le jour !!!)

- Impensable non plus de parier sur l’effondrement des grandes « investment banks » américaines : faillite (Lehman), sauvetage/absorption (pour Bear Stearns et Merril Lynch)

- Et que dire du recours au Trésor US pour sauver du défaut trois des plus prestigieux « AAA » de la planète : deux agences de refinancement hypothécaire au-dessus de tout soupçon, Fannie Mae et Freddie Mac, ainsi que le premier assureur mondial, AIG.

POURQUOI CETTE SOUS-ESTIMATION SYSTÉMATIQUE DE CE QUE L’ON QUALIFIE D’ÉVÉNEMENTS RARES ?

Il y a l’explication technique que nous connaissons bien : l’hypothèse selon laquelle les facteurs de risque suivent une loi statistique log-normale n’est jamais vraiment vérifiée. Cette méthodologie ne permet pas de bien prendre en compte les produits dont le prix n’évolue pas linéairement avec les facteurs de risque, c’est-à dire aujourd’hui un nombre incalculable de produits financiers : dérivés classiques de première génération ; dérivés plus exotiques ; titres structurés avec achat d’options implicites (indéxés sur tout type de classe d’actif) ; titres structurés avec vente d’options implicites (type callable , reverse floater ou reverse convertible) ; titrisations synthétiques….

Mais on ne peut se satisfaire de ce type d’explications et il faut , en fait, comprendre les raisons profondes qui ont consacré le triomphe d’une certaine forme de modélisation sur le marchés financiers. Nous voyons trois raisons fortes

1. Pour les dirigeants politiques et économiques du monde entier, ce type d’environnement est idéal puisque les mathématiques (tout du moins une certaine utilisation de celles-ci) permettent de s’auto-persuader que les grandes catastrophes sont quasiment impossibles. On aimerait pouvoir et vouloir le croire mais ce n’est pas possible. Voilà qui permet en tout cas de rassurer tout le monde : électeurs, clients, salariés, actionnaires. Certains nous diront que tout cela est normal car le moteur de la croissance et du progrès ce serait la confiance (confiance en qui, confiance en quoi ??). En vérité, le moteur du progrès, c’est de pouvoir se doter des outils de toute nature permettant d’évaluer les risques extrêmes et de mettre en place les stratégies et politiques correctrices qui devraient s’imposer le cas échéant

2. Seconde raison, la nécessité de continuer à financer les gaspillages et les excès d’endettement conduit à des bulles dont les risques extrêmes sont volontairement minimisés Les surévaluations d’actifs sont alors clairement passées sous silence de même que les risques liés au mimétisme et à l’illiquidité de certains actifs financiers portés. Il y a derrière tout cela trois types de motivations

  • Souvent la cupidité de certaines institutions fortement commissionnées (bulle tecno 1999-2000, crise subprime 2006-2007)
  • Mais parfois la nécessité de justifier la poursuite des financements des déficits publics (la surévaluation des emprunts d’état des zones jugées les plus sûres comme les US, le UK, l’Allemagne et la France n’est pas jugée suffisamment risquée ; or elle l’est)
  • Enfin la justification du détournement de l’épargne des ménages vers les emplois les plus improductifs qui soient : le financement des dettes publiques y compris celles des états jugés les moins solvables comme nos chers PIIGS. Il est clair que dans ces conditions, on sous-estime dramatiquement les risques de certains compartiments d’un placement comme l’assurance vie (pas forcément au niveau d’un risque en capital mais plutôt au niveau des risques de baisse significative de la rentabilité future)

3. Troisième raison, une minimisation des risques ayant pour objet de légitimer un modèle de développement qui repose sur deux piliers :

a/ Normes de rentabilité excessivement élevées au regard des fondamentaux économiques et qui privilégient donc la profitabilité à court terme souvent mal réinvestie au développement équilibré de long terme (tant au niveau de l’entreprise qu’au niveau macroéconomique) ;

b/ Ingénierie financière des banques visant à transférer le risque sur certains agents économiques privés pour économiser des fonds propres et améliorer encore et toujours la rentabilité du capital utilisé

  • Ainsi cela a conduit à sous estimer considérablement les risques liés au levier excessif dans certains montages structurés complexes
  • Cela a permis aussi de faire croire à une certaine efficience des marchés et à une bonne mutualisation du risque (on a vu avec la crise des subprime à quel point cette mutualisation pouvait être dangereuse puisque le risque n’était plus correctement localisé et identifié)

QUE FAUT-IL DONC FAIRE ?

- Tout d’abord, il faut continuer à investir dans la recherche mathématique afin d’améliorer la modélisation (qui comportera de toute façon toujours des insuffisances par construction). Cela revient à approfondir les recherches de Mandelbrot ; mais également à mettre en place des vrais stress scenarii afin de prendre en compte les discontinuités sur les évolutions des prix des actifs. Il s’agira aussi de mieux modéliser les valeurs extrêmes (calibrage des queues de distribution) qui sont mal prises en compte dans les calculs de VAR

- Il faut surtout essayer de mieux comprendre les marchés. Je lisais récemment dans une revue que pour être un bon professionnel des marchés dans la recherche, le trading et la structuration, il fallait être tout à la fois un bon mathématicien, un bon physicien et un bon informaticien. Si on peut être tout cela à la fois, parfait mais ceci ne dispense pas d’approfondir ses connaissances dans le domaine de la finance comportementale. Car une chose est sûre. Il ne sera jamais possible de modéliser la peur , le mimétisme et encore moins l’impact des contraintes réglementaires, prudentielles et comptables sur les comportements des investisseurs

L’histoire récente des crises des marchés financiers (1998-2011) ne peut-être comprise entièrement si l’on intègre pas cette dynamique de la contagion entre actifs financiers et de ventes forcées pour des raisons commerciales, prudentielles, réglementaires ou comptables
Mory Doré.

Combien de fois m’a-t-on demandé pourquoi tel actif financier voyait son prix chuter violemment alors même que les fondamentaux de cet actif étaient parfaitement sains ?
Et souvent j’ai répondu que les crises et périodes de stress sur les marchés étaient souvent accompagnées de ventes forcées indépendamment des fondamentaux des actifs. En reprenant une série d’exemples que j’ai déjà évoqués dans des articles récents
Exemple 1 : j’ai en portefeuille un actif A devenu pourri et illiquide, or j’ai besoin de liquidités pour des raisons diverses et variées (respect de ratios réglementaires, anticipations de demandes de cash de la part de clients..) ; je vais donc être forcé de vendre mon actif B plutôt sain fondamentalement voire mon actif C encore plus sain
Exemple 2 : la crise qui attaque violemment mon actif X va compliquer le pilotage de mon résultat annuel car cet actif est en juste valeur (option fair value en normes IFRS) et ses variations de valeur (le fameux mark to market) vont impacter négativement mon compte de résultat. Là encore, et pour d’autres raisons, je suis contraint de vendre des actifs sains : mon actif Y sur lequel il reste quelques plus values à réaliser et peut-être même mon actif Z encore plus sain et sur lequel les plus values sont encore plus conséquentes
L’histoire récente des crises des marchés financiers (1998-2011) ne peut-être comprise entièrement si l’on intègre pas cette dynamique de la contagion entre actifs financiers et de ventes forcées pour des raisons commerciales, prudentielles, réglementaires ou comptables. Autre phénomène de comportement auquel l’on assiste souvent sur les marchés, l’aversion au risque qui se substitue souvent à l’analyse des fondamentaux pour expliquer certaines tendances directionnelles.

MATÉRIALISATION DES PRISES DE POSITIONS LIÉES À L’AVERSION AU RISQUE

- Sur le marché des changes, le franc suisse et le yen ont tendance à s’apprécier brutalement. Ce n’est sûrement pas dû à une supériorité des économies suisse et japonaise sur celle des autres pays mais plutôt à la mémoire des investisseurs qui associent aversion au risque au débouclement des carry trade initiés entre 2004 et 2007 au détriment du CHF et du JPY. On se souvient qu’à l’époque l’absence d’aversion au risque conduisait au jeu préféré suivant : emprunts de CHF et de JPY à des taux très bas , vente de ces devises contre USD et autres devises à haut rendement afin de capter un portage positif immédiat ; le retour d’aversion au risque a conduit les hedge funds en fortes pertes pratiquant le carry trade à déboucler leurs positions en rachetant massivement à découvert le JPY et le CHF ; c’est ce qui s’est violemment passé entre juillet 2007 et fin 2008 et aujourd’hui , à tort ou à raison, tout regain d’aversion au risque est très souvent synonyme d’appréciation du JPY et du CHF

- Sur les marchés de dette , il y a en général refuge massif sur les emprunts d’état US , des T-Bills court terme aux Treasuries long terme avec l’idée sous jacente qu’il s’agit des actifs les plus liquides du monde et donc mobilisables en tant que de besoin en cas de grave crise de liquidité sur les marchés financiers

- En zone Euro, il y a en période d’aversion au risque, même lorsque celle-ci n’est pas liée aux périphériques de la zone, refuge des investisseurs vers les dettes publiques du « core » Europe au détriment des dettes de ceux que l’on appelle aujourd’hui les PIIGS

- Enfin, il y un refuge naturel vers l’or encore que pour cet actif, les raisons fondamentales de le surpondérer sont évidentes (monétisation excessive des dettes publiques et défiance anticipée vis-à-vis de certaines grandes monnaies, risques inflationnistes élevés à terme et donc période prolongée de taux d’intérêt réels négatifs)

Mis à part l’or, on voit bien que ces refuges sont souvent irrationnels : monétaire rémunéré autour de 0% en CHF ou en JPY ; participation à la poursuite de la bulle sur les emprunts d’état US et Core Europe

Mory Doré , Mai 2011

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