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Introduction au Calcul Stochastique appliqué à la finance, de Damien Lamberton et Bernard Lapeyre

Le livre des deux chercheurs français est une initiation riche et rigoureuse aux formalismes mathématiques théoriques des marchés dérivés.

Damien Lamberton et Bernard Lapeyre [1] sont deux chercheurs qui ont fait leur réputation dans le domaine de la finance mathématique. Enseignants respectivement à l’Université de Marne-la-vallée et à l’Ecole des Ponts et chaussées, ils s’intéressent aux aspects probabilistes de la finance de marchés depuis bientôt vingt ans à travers de nombreux articles qu’ils ont produits, en commun ou à titre individuel. Les deux mathématiciens ont ainsi publié leur premier ouvrage sur la question aux éditions Ellipses en 1992 : Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance.

Actuellement à sa deuxième édition, leur ouvrage (qui a entre temps été traduit en anglais) s’est imposé comme référence auprès de nombreux praticiens pour comprendre les fondements mathématiques sous-jacents à la réalité complexe des marchés de dérivés.

Si le livre nécessite des pré requis clairs et précis en théorie des probabilités, les auteurs ont tenté le pari de le rendre accessible à un plus large public en évitant de le surcharger de démonstrations indigestes, et en fournissant en fin d’ouvrage un appendice revenant sur quelques notions de base à savoir pour aborder le calcul stochastique. Quoi que très largement non exhaustives.

Le début du livre donne le contexte avec une introduction rapide au problème des options, à la notion d’arbitrage et au modèle de Black & Scholes, sans en aborder les aspects mathématiques. Les problèmes de probabilités commencent réellement au chapitre 1 avec une introduction aux modèles discrets et tout le formalisme mathématique des notions de marchés complets, viables et stratégies de couverture. Le chapitre 2 nous emmène à la notion d’arrêt optimal et l’application que l’on peut en faire dans le cadre de la valorisation des options américaines.

Le chapitre 3 introduit avec rigueur et qualité le mouvement brownien et les processus à temps continu pour ensuite nous emmener à construire l’intégrale stochastique et nous initier au calcul d’Ito. Ce chapitre est stricto sensu mathématique et de solides bases sont fondamentales pour aller au fond des démonstrations et en comprendre toutes les subtilités, certaines étapes étant souvent jugées inutiles par les auteurs.

Les fondements théoriques étant posés, le chapitre 4 est consacré à l’étude du modèle de Black and Scholes, avec le théorème de Girsanov et la notion de changement de probabilité utilisés dans le cadre du pricing d’options. Le chapitre 5 aborde l’évaluation des options en elles mêmes avec la résolution d’équations aux dérivées partielles par les différences finies. Dans le chapitre 6, les auteurs se penchent sur les modèles de taux d’intérêt en explicitant brièvement le formalisme mathématique derrière deux modèles usuels que sont le modèle de Vasicek et le modèle de Cox-Ingersoll-Ross.

Le chapitre 7 donne une idée rapide des modèles à saut. Le principe reste à peu près le même : on introduit l’outil principal (les processus de poisson) avant de faire la formalisation mathématique et d’aborder l’évaluation et la couverture des options dans le cadre de ces modèles.

Le dernier chapitre du livre intitulé « Simulation et algorithmes pour les modèles financiers » présente aux lecteurs les différentes implémentations informatiques en langage C des variables aléatoires suivant les lois usuelles (loi uniforme, normale, exponentielle, Poisson) et des processus stochastiques tels le mouvement brownien et d’équations différentielles stochastiques avant d’en arriver à la première application : celle sur le modèle de Black & Scholes. Suivra ensuite l’implémentation complète du pricing d’options par le modèle de Cox Ross Rubinstein. Un appendice de 6 pages et une riche bibliographie clôturent le livre.

Qu’on ne s’y trompe pas, l’ouvrage de Damien Lamberton et Bernard Lapeyre n’est pas un livre de finance. Sa forte orientation vers la théorie et les exercices parfois très abstraits qui clôturent tous les chapitres le démontrent : le but de ce livre est de présenter les outils stochastiques sous-jacents à la couverture et à l’évaluation des produits dérivés. A en juger de sa popularité auprès des praticiens, on ne peut pas dire que les deux probabilistes français n’aient pas atteint leur objectif.

Yann Olivier , Juin 2008

Notes

[1] La photo qui introduit l’article est celle de Bernard Lapeyre. Vous trouverez un visuel de Damien Lamberton en cliquant ici

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